Strona główna POU
Strona główna   Publicytyka
Równania rekurencyjne użytecznym narzędziem w podejmowaniu decyzji
POU - Zarządzanie Zmianami
Wersja do druku
 

Równania rekurencyjne użytecznym narzędziem w podejmowaniu decyzji

dr hab. Leszek S. Zaremba
Kierownik w Katedrze Metod Ilościowych w Finansach w POU
 
W Wyższej Szkole Zarządzania / Polish Open University na pierwszym roku studiów prowadzony jest wykład „Ma­tematyka w Ekonomii i Zarządzaniu”. Mniej więcej w środkowej części tego wykładu omawiane są tak zwane równania różnicowe (difference equations) zwane również równaniami rekurencyjnymi. Jest to tema­ty­ka bardzo mało popularna w polskim szkolnictwie. Między innymi świadczy o tym fakt, że będąc studentem Wydziału Matematyki i Me­cha­niki Uniwersytetu Warszawskiego przez 5 lat dziennych studiów nie zetknąłem się z wykładem na ten temat.
Celem tego krótkiego artykułu jest pokazanie różnorodnych zasto­so­wań równań rekurencyjnych I-go rzędu (są jeszcze równania reku­ren­cyjne wyższych rzędów), wykorzystując między innymi jako ilustracje przykłady i zadania do rozwiązania znajdujące się w książce „Mathe­matics for Economics and Finance” (zob.[1]), której autorami są dwaj matematycy pracujący w London School of Economics. Zdaniem auto­ra tego artykułu, książka ta jest znacznie bardziej atrakcyjna niż jakie­kol­wiek dostępne w języku polskim podręczniki z matematyki dla stu­den­tów na kierunkach ekonomicznych. Zaczniemy jednak od przykładu (Zagadnienie 1), który choć nie pochodzi z [1], ma spore szanse zain­te­re­sować wszystkich przyszłych polskich emerytów.
Najpierw kilka słów na temat (krótkiej) teorii równań różnicowych I-go ro­­­dzaju. Jak zobaczymy wkrótce, przy użyciu wzoru (1) podającego ogól­­ne rozwiązanie dowolnego równania różnicowego I-go rzędu bę­dzie­­my w stanie znaleźć rozwiązanie każdego problemu sformuło­wa­nego poniżej (i nie tylko).
 
Definicja 1.  yt = ayt-1 + b  nazywamy równaniem rekurencyjnym (róż­nicowym), gdzie t oznacza czas, np. numer okresu. Zatem równanie to mówi, iż wartość pewnej zmiennej y w chwili/okresie t zależy od wartości tej zmiennej w chwili/okresie ją poprzedzającym zgodnie ze wzorem podanym powyżej.
Na przykład, równania różnicowe I-go rzędu mogą mieć postać:
yt = yt-1 + 3,   yt = 3yt-1 – 14,
itp. dla wszystkich liczb naturalnych  t ≥ 0.  Każde takie równanie reku­rencyjne ma nieskończenie wiele rozwiązań, ponieważ każda wartość początkowa  y0  generuje dokładnie jedno rozwiązanie. Na przykład, rów­nanie  yt = 3yt-1 – 14  z warunkiem początkowym  y0 = 10  określa jednoznacznie następujące rozwiązanie: 10, 16, 34, 88, itd. (porównaj przykład 1., gdzie podane jest pełne rozwiązanie tego równania). Aby podać za chwilę postać ogólną rozwiązania dowolnego równania reku­rencyjnego  yt = ayt-1 + b,  przyjmijmy następującą definicję.
 
Definicja 2.   yt = y*  nazywamy rozwiązaniem stałym równania          yt = ayt-1 + b,  jeśli  y*  spełnia to równanie, to znaczy y* = ay* + b. Łatwo sprawdzić, iż w takim przypadku  y*  dane jest wzorem:
 
         
Na przykład, równanie  yt = 3yt-1 – 14  ma stałe rozwiązanie:
 
  ,
 
o czym możemy się przekonać również poprzez proste podsta­wie­nie: 7 = 3 × 7-14.
 
Twierdzenie 1.   Warunek początkowy   y0   oraz dowolne równanie   yt = ayt-1 + b   w jednoznaczny sposób określają rozwiązanie:
                     

 .

 
Przykład 1. Rozwiążmy równanie   yt = 3yt-1 – 14  z warunkiem po­cząt­ko­wym  y0 = 10.  Zgodnie z wzorem (1), rozwiązaniem tego rów­nania jest  yt = 7 + (10 – 7)3t.  Podstawiając za  t  kolejno 1, 2, 3, 4 otrzymujemy   y0 = 7 + 9 = 16;   y2 = 7 + 27 = 34;   y3 = 7 + 81 = 88;  y4 = 7 + 243 = 250.
 
Przejdźmy teraz do bardziej poważnych zastosowań twierdzenia 1., w któ­rych będziemy stosować wzór (1). Na tym właśnie polega uniwer­salizm (wszechstronność) matematyki, że dostarcza narzędzi do roz­wią­zywania najróżniejszych problemów, przy czym część z nich, na po­zór odległych tematycznie, rozwiązuje się w taki sam sposób.
 
 
Zagadnienie 1 (Optymalne zarządzenie majątkiem zgromadzonym na rachunku emerytalnym)
Pan Kowalski przepracował 40 lat zarabiając miesięcznie brutto śred­nio 3 600 zł z czego 30% było odprowadzane na jego konto emerytalne. Niestety, OFE w którym gromadzone były jego składki emerytalne za­rządzał pieniędzmi w sposób pasywny, kupując tylko obligacje, których rentowność w skali roku po uwzględnieniu inflacji wynosiła zaledwie 2,5%. Załóżmy, iż Kowalski ma prawo dysponować swym kapitałem eme­rytalnym według własnego uznania. Biorąc pod uwagę, że statys­tycznie biorąc Kowalski będzie jeszcze żył 9 lat, (a) oblicz jaką kwotą będzie dysponował w realnych pieniądzach w momencie przejścia na emeryturę, oraz (b) oblicz jaką będzie miał emeryturę brutto, aby po 9 la­tach pozostało mu zgodnie z jego życzeniem na koncie emerytalnym 300 tys. zł. Zakładamy, że rachunek emerytalny przynosić będzie rocz­ne zyski 3% po uwzględnieniu inflacji (np. z tytułu inwestycji w obligacje Skarbu Państwa). [1]
 
 
Zagadnienie 2 (Zarządzanie wielkością zatrudnienia);
por. [1, Exercise 3.5]
Pewna firma zatrudnia aktualnie 4000 osób, którzy wypracowują w cią­gu każdego roku 8 000 000 godzin. W związku z przechodzeniem na emerytury, zwalnianiem się z pracy oraz redukcją ilości godzin pracy przez osoby w starszym wieku, ogólna liczba przepracowanych godzin w tym przedsiębiorstwie zmniejsza się w ciągu roku o W %. Mając to na względzie, zarząd postanowił zatrudniać każdego roku nowe osoby w takiej ilości, aby liczba roboczogodzin zwiększała się o E tys. w skali każdego roku. Nasuwa się tu od razu kilka pytań:
(a) Jakie powinny być E i W, aby w przyszłości firma utrzymywała za­trud­nienie na poziomie 8 000 000 godzin w ciągu roku;
(b) Jakie powinny być E i W, aby zatrudnienie w kolejnych latach usta­bi­lizowało się na poziomie 8 400 000 roboczogodzin? [2]
 
 
Zagadnienie 3 (Zapasy złota w Polsce);
por. [1, s. 27]
Polska miała 32 000 kg złota w 1990 r. Każdego roku połowa posiada­nego złota była zużywana, zaś 6 000 kg było produkowane. (a) Ile złota będzie w Polsce w roku 2009? (b) Na jakim poziomie ustabilizuje się po­ziom zapasów złota w przyszłości? [3]
 
 
Zagadnienie 4 (Zarządzanie zapasami pszenicy w UE;
por. [1, Example 3.4])
Komisarz Unii Europejskiej do spraw rolnictwa zarządza między innymi nadwyżką pszenicy, która aktualnie wynosi 30 000 ton i przetrzy­my­wana jest w okolicach Strasburga. Niestety, myszy zjadają corocznie 5% pszenicy. Doradź pani komisarz:
(a) ile pszenicy powinny dokładać każdego roku kraje członkowskie UE, aby po 10 latach zapasy wynosiły 32 000 ton?
(b) do jakiego poziomu będą w takim przypadku dążyć zapasy psze­ni­cy w przyszłości?
(c) jeśli kraje członkowskie UE będą dokładać co roku tylko 1 200 ton, po ilu latach zapasy pszenicy skurczą się do poziomu 27 000 ton?
(d) jaki będzie graniczny poziom zapasów w takim scenariuszu? [4]
 
 
Zagadnienie 5 (Inwestycje w Funlandii o „zamkniętej ekonomii”; por. [1, Example 3.5]
Załóżmy, iż Funlandia charakteryzuje się „samowystarczalną” ekono­mią, a więc taką, gdzie wszystkie towary i usługi kupowane i sprzeda­wane w Funlandii zostały w niej wytworzone, ponadto Funlandia nic nie eksportuje (w literaturze anglojęzycznej taka gospodarka nazywa się „closed economy”). Niech  Yt   oznacza PKB w roku  t,  Ct   kon­sump­cję w ro­ku  t, zaś  It   inwestycje w Funlandii w roku  t,  przy czym Fun­landia konsumuje połowę tego co wytwarza, tj.:
 
.
 
Wiadomo, iż PKB w następnym roku jest proporcjonalny do poziomu in­westycji z poprzedniego roku, tj.  Yt+1 = kIt,  gdzie   k ≠ 2.  Pokaż, że:
a) PKB spełnia równanie rekurencyjne I-ego rodzaju; oraz
b) znajdź warunek konieczny i dostateczny, aby PKB wzrastał rok do roku;
c) znajdź warunek konieczny i dostateczny, aby PKB malał rok do roku. [5]
 
 
Zagadnienie 6 (Wyznaczanie ceny na towar w zależności od popytu i podaży); por.[1, Exercise 3.6]
Funkcje popytu qD(p) i podaży qS(p) dane są wzorami  qD(p) = 3 – p, qS(p) = p,  gdzie p jest ceną rozpatrywanego towaru. Załóżmy, że cena początkowa towaru  p0 = 1  jest mniejsza niż cena równowagi (łatwo sprawdzić, że cena równowagi  p* = 1,5)  oraz, że cena  pt  w okre­sie  t  zależy od inflacji  r,  od ceny  pt–1  oraz od popytu i podaży w okresie bez­pośrednio poprzedzającym w następujący sposób:
 
    .
 
(a) Udowodnij, że cena pt dąży do wartości granicznej wtedy i tylko wte­dy gdy:
 .
 
(b) Pokaż, że cena graniczna jest większa od ceny równowagi; (Wskazówka: pokaż, że cena graniczna jest większa niż 1,5, ale mniej­sza niż 3).
 
 
Rozwiązania
Zagadnienie 1 (Optymalne zarządzenie majątkiem zgromadzonym na rachunku emerytalnym).
Na emerytalne konto p. Kowalskiego wpływać będzie co miesiąc przez 40 lat 30% z kwoty 3 600 zł, tj. 1 080 zł. Pieniądze te przynosić będą miesięcznie zysk równy 1/12 z 2,5%, czyli 0,208%. Jak wiemy z wy­kładu „Matematyka w Ekonomii i Zarządzaniu”, przyszła wartość (FV) takiego strumienia pieniędzy po 40 latach wynosić będzie w realnych pieniądzach:
  ,
 
przypuszczalnie więcej niż Kowalski będzie się spodziewał otrzymać. Co więcej, kwota ta uszczuplana przez wypłacaną co miesiąc eme­ry­turę będzie oprocentowana 3% w skali roku, czyli 0,25% w skali mie­siąca (po uwzględnieniu inflacji). W związku z tym, równanie różnicowe podające wielkość posiadanego przez Kowalskiego majątku w mie­siącu t, licząc czas od momentu przejścia na emeryturę, wyglądać będzie następująco:
 
   ,
 
gdzie x oznacza emeryturę brutto, która będzie wypłacana przez 9 lat. Wiemy ponadto że:   y0 = 889 292,  zaś  y108 = 300 000.   Zastosujemy teraz wzór (1), otrzymując dla wszystkich naturalnych liczb  t = 0, 1, 2, …  równanie rekurencyjne:
    ,
 
czyli:
      .
 
Skoro  yt = 300 000,  to 300 000 = 400x + [889 292 – 400x] × 1,309523, więc  300 000 = 400x + 1 164 549 – 523,81x,  czyli  123,81x = 864,549 oraz  x = 6 982,91 zł.
 
 
Zagadnienie 2 (Zarządzanie wielkością zatrudnienia)
Niech  yt  oznacza ilość tysięcy roboczogodzin wypracowywanych w ro­ku  t.  Z treści zadania wynika iż:
 
  .
 
Zgodnie z wzorem (1),
 
.
 
Ponieważ
 
jest liczbą większą od 0 a mniejszą od 1, jej kolejne potęgi
 
 
dążą do zera, gdy  t → ∞  i w konsekwencji do zera dąży też cały człon

.

 

 
Zatem, aby zagwarantować w przyszłości (czyli dla dużych t) zatrud­nie­nie na poziomie 8 000 tys. roboczogodzin, pierwszy człon we wzo­rze (8) musi być większy niż 8 000, to jest:
 
  ,
 
czyli E > 80W (jest to odpowiedź na pytanie (a)).
 
Zauważmy, iż nierówność E > 80W implikuje, że:
 
 ,
 
a więc człon (9) jest zawsze mniejszy od zera, chociaż dąży do zera. A więc, zgodnie ze wzorem (8), zatrudnienie będzie w każdym roku mniej­sze niż
 
 
Aby odpowiedzieć na pytanie (b), rozumujemy w taki sam sposób jak po­przednio, dochodząc do nierówności:
 
  ,
 
ponieważ tak jak poprzednio drugi człon we wzorze (8), czyli wyrażenie (9) dąży do zera, gdy  t → ∞.
 
 
Zagadnienie 3 (Zapasy złota w Polsce)
Niech  yt  oznacza ilość złota w kg w roku  t. Zgodnie z treścią zadania,
 ,
 
a więc stałym rozwiązaniem będzie:
 
 
 
Zgodnie ze wzorem (1), ilość złota w Polsce w roku t, przyjmując 1990 za rok początkowy (t = 0), wynosi:
 
.
 
Odpowiadając na pytanie (a), w roku 2009 (t = 19) będzie w Polsce:
 

 
ponieważ:
 .
 
Aby odpowiedzieć na pytanie (b), odwołajmy się do (13), aby wywnios­kować, że poziom złota w Polsce stabilizować się będzie na poziomie 12 000 kg ponieważ drugi człon stojący po prawej stronie równania (13) będzie dążył do zera wraz z  t → ∞.
 
 
Zagadnienie 4 (Zarządzanie zapasami pszenicy w UE)
Niech  yt  oznacza ilość ton pszenicy przetrzymywanej w magazynach UE blisko Strasburga w roku  t  licząc od dziś (t = 0), kiedy to zapasy wynoszą 30 000 ton. Zgodnie z treścią zadania:
 
,
 
przy czym rozwiązaniem stałym jest:
 

  .

 
Stosując jak zawsze wzór (1), otrzymujemy:
 
  .
 
Ponieważ  (0,95)10 = 0,6, więc y10 = 32 000 = 18 000 + 20x – 12x  oraz x = 1750 ton. Wobec tego, że człon  (30 000 – 20x)(0,95)t  dąży do zera, gdy  t → ∞,  ilość ton pszenicy trzymanej w magazynach UE blisko Strasburga będzie stabilizować się na poziomie  20x = 20(1750) = 35 000 ton. Aby odpowiedzieć na pytania (c) i (d), rozważmy rów­nanie  yt = 0,95yt–1 + 1200  z warunkiem początkowym  y0 = 30 000. Ponieważ:
 
  ,
 
więc  yt = 24 000 + 6 000(0,95)t  dążyć będzie do wartości granicznej 24 000. Pozostaje tylko wyznaczyć takie  t, dla którego:
 
  ,
czyli rozwiązać równanie  0,5 = (0,95)t.  Najbardziej naturalnym spo­so­bem rozwiązania tego ostatniego równania jest zlogarytmowanie je­go obu stron przy podstawie  0,95  uzyskując  log0,950,5 = log0,95(0,95)t a następnie:
 .
 
Najprostszym sposobem rozwiązania równania  0,5 = (0,95)t  jest podnoszenie  0,95 do kolejnych potęg, otrzymując między innymi  (0,95)13 = 0,5133, (0,95)14 = 0,4877  oraz  (0,95)13,5 = 0,5003,  co daje praktycznie ten sam wynik co przed chwilą, to jest  t =13,5 lat.
 
 
Zagadnienie 5 (Inwestycje w Funlandii o zamkniętej ekonomii)
Wiemy, iż PKB w każdym roku  t  równy jest konsumpcji plus inwesty­cje, czyli   Yt = Ct + It,   przy czym:
 
  ,
 
z czego wynika, iż:
.
 
Ponieważ  Yt = It–1,  dochodzimy do następującego prostego równania rekurencyjnego:
 
     ,
 
którego stałym rozwiązaniem jest  y* = 0,  a zatem stosując wzór (1) otrzymujemy:
 
     ,
 
gdzie  I0  jest inwestycją w początkowym roku (t = 0). Z uwagi na to, że:
  ,
 
mnożąc obie strony równości (19) przez 2 otrzymujemy, iż:
 
  
 
Aby inwestycje  It  wzrastały z każdym rokiem, na mocy (19) potrzeba i wystarcza, aby:
.
 
Analogicznie, aby   Yt,   czyli PKB wzrastał z każdym rokiem, na mocy (20) potrzeba i wystarcza, aby:
   .
 
Co więcej, dla wszystkich k mniejszych od 2, ale większych niż 0, to z każdym rokiem będą maleć zarówno PKB, jak i inwestycje.
 
 
Zagadnienie 6 (Wyznaczanie ceny na towar w zależności od popytu i podaży)
Podstawiając do wzoru (3) funkcje popytu i podaży, otrzymujemy rów­na­nie różnicowe:
 
,
 
którego stałym rozwiązaniem jest:
.
 
Na mocy twierdzenia 1 i wzoru (1), rozwiązaniem tego równania jest:
 
(22)              .
 
Ten ciąg cen będzie dążył do wartości granicznej wtedy i tylko wtedy, gdy   (1 + r – 2k)t → 0,   czyli gdy    -1 < 1 + r – 2k < 1.    Zauważmy, iż pierwsza część tej podwójnej nierówności, czyli nierówność              -1< 1 + r – 2k    zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy     2k < 2 + r,   czyli:
 
  .
 
Zauważmy  też,  iż  druga  część  tej  podwójnej  nierówności,  czyli     1 + r – 2k < 1  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy  r < 2k,  co jest prawdziwe, ponieważ zgodnie z przyjętym założeniem  r < k.  Kon­kludując, ciąg cen (22) będzie dążył do wartości granicznej wtedy i tylko wtedy, gdy spełniona będzie nierówność (23). W ten sposób udowodniliśmy (a). Aby pokazać słuszność tezy (b), na mocy wzoru (22)  potrzeba i wystarcza pokazać, że:
 
(24)            ,
 
ponieważ cena graniczna jest równa:
 

 
z uwagi na to, że człon:
 

   .

 
Wynika stąd, że cena graniczna będzie wyższa od ceny równowagi p* = 1,5. Jak dużo wyższa – zależeć będzie od konkretnych wartości pa­rametrów r i k.
 
 
Literatura
M. Anthony, N. Biggs, Mathematics for Economics and Finance – Methods and Modelling, Cambridge University Press, 2005.


[1] (a) 889 292 zł; (b) 6 982,91 zł.
[2] (a) E > 80W; (b) E > 84W.
[3] (a) 12 000,05 kg; (b) 12 000 kg.
[4] (a) 1 750 ton; (b) 35 000 ton; (c) 13,5 lat; (d) 24 000 ton.
[5] (a) PKB spełnia równanie (20); (b) k > 2; (c) k < 2.

 

 
Spis treści
Publicystyka
Wybrane problemy metodologii zarządzania
Online and growing
Dbałość o rozwój i śledzenie tendencji rynkowych
Praca studenta
Proces rozszerzania Unii Europejskiej
Aktualności
Koniec dolara, jako waluty międzynarodowej?
Film szkoleniowy dla maturzystów
Niższe ceny na studiach magisterskich uzupełniających w POU
10 pytań do specjalisty
Techniki Produkcyjne w Reklamie (1M2)
Minirepetytorium
Internet w Zarządzaniu (1T2)
Cytat miesiąca
Przeczytaj i wybierz swoje motto
Archiwum
Archiwum artykułów
Kontakt
Formularz kontaktowy